大物乙-机械振动

机械振动

简谐振动

定义：物体运动时，离开平衡位置的位移成余弦（或正弦）规律随时间变化

$$x=A\cos(\omega t+\varphi)$$

弹簧振子运动方程

回复力：$F=-kx$

动力学特征：设$\omega^2=\frac km$，从$a=\frac Fm=-\frac kmx$可得$a=\frac{d^2x}{dt^2}=-\omega^2x$

二阶常微分方程：$\frac{d^2x}{dt^2}+\omega^2x=0$​

上述方程的解有三种形式$\begin{cases}x=A\cos\omega t+B\sin\omega t\\x=A\cos(\omega t+\varphi)\\x=Ae^{i\omega t}+Be^{-i\omega t}\end{cases}$，其中$\omega=\sqrt{\frac km}$

$t=0$时，有$x=x_0,v=v_0\Rightarrow x_0=A\cos\varphi,v_0=-\omega A\sin\varphi$，因此可以求出$A$与$\varphi$

振幅、周期、频率和相位

振幅（A）：$A=\sqrt{x_0^2+\left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2}$​

周期（T）：$\omega T=2\pi\rightarrow T=\frac{2\pi}{\omega}$​

频率（v）：单位时间内做完整简谐振动的次数，$v=\frac 1T$

角频率（$\omega$）：单位时间内转动的相位角

相位（$\omega t+\varphi_0$）：初始相位$\varphi_0$​

相位差（$\Delta\varphi$）：$(\omega t+\varphi_2)-(\omega t+\varphi_1)=\varphi_2-\varphi_1=\Delta\varphi$。当$\Delta\varphi=\pm2k\pi$时，两振动同相位；当$\Delta\varphi=\pm(2k+1)\pi$时，两振动反相位。超前即$\Delta\varphi>0$​，反之相反。

振幅矢量

长度等于振幅$A$的矢量$\vec{A}$在平面内逆时针旋转，角速度为$\omega$。矢量在x轴上的大小就是位移$x$。$x_0$对应初始位移，而$\varphi_0$​对应了初始振幅矢量的位置。

常见的简谐振动

单摆

小球所受合外力矩

$$M=-mgl\sin\theta\approx-mgl\theta$$

定轴转动定律

$$\frac{d^2\theta}{dt^2}=\frac MJ=-\frac{mgl\theta}{ml^2}=-\frac gl\theta$$

类比弹簧振子，令$\omega^2=\frac gl\rightarrow T=\frac{2\pi}\omega=2\pi\sqrt{\frac lg}$

求解方程有

$$\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}=-\omega^{2}\theta\to\theta=\theta_{\mathrm{m}}\cos(\omega t+\varphi_0)$$

物理摆

对于一个可以绕水平轴摆动的刚体构成物理摆，则$J=J_C+ml^2$，有

$$\frac{d^2\theta}{dt^2}=-\frac{mgl}J\theta$$

进一步可得$\omega=\sqrt{\frac{mgl}J}$​

扭摆

有

$$M=-k\theta\qquad M=J\frac{d^2\theta}{dt^2}$$

可得

$$\frac{d^2\theta}{dt^2}=-\frac kJ\theta$$

振动的角频率为$\omega=\sqrt\frac kJ$，扭摆的周期为$T=2\pi\sqrt{\frac Jk}$

简谐振动的能量

动能：$E_k=\frac 12mv^2=\frac12m\omega^2A^2\sin^2(\omega t+\varphi_0)$

势能：$E_{P}=\frac12kx^{2}=\frac12kA^{2}\cos^{2}(\omega t+\varphi_{0})$

系统总的机械能：（$\omega^2=\frac km$）

$$E=E_{K}+E_{P}=\frac{1}{2}m\omega^{2}A^{2}\sin^{2}(\omega t+\varphi_{0})+\frac{1}{2}kA^{2}\cos^{2}(\omega t+\varphi_{0})$$

$$E=\frac12kA^2$$

简谐振动的机械能守恒，且只和振幅相关。

能量平均值

$$\overline{E_k}=\frac 1T\int^T_0\frac12m\omega^2A^2\sin^2(\omega t+\varphi_0)dt=\frac 14kA^2\\ \overline{E_p}=\frac 1T\int^T_0\frac12kA^2\cos^2(\omega t+\varphi_0)dt=\frac 14kA^2\\ \overline{E_k}=\overline{E_p}=\frac 12E$$

简谐振动的合成

同方向同频率简谐振动的合成

若

$$x_1=A_1\cos(\omega t+\varphi_1)\qquad x_2=A_2\cos(\omega t+\varphi_2)$$

则合振动为

$$x=x_1+x_2=A_1\cos(\omega t+\varphi_1)+A_2\cos(\omega t+\varphi_2)$$

显然，合成后的振动仍然为简谐振动

从矢量图中可以求出合振幅和初相：

$$A=\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos(\varphi_{2}-\varphi_{1})}\\ \varphi=\arctan\frac{A_1\sin\varphi_1+A_2\sin\varphi_2}{A_1\cos\varphi_1+A_2\cos\varphi_2}$$

若$x_1$与$x_2$同相，则$A=A_1+A_2$，若$x_1$与$x_2$反相，则$A=0$

同方向不同频率简谐振动的合成

若

$$x_1=A_1\cos(\omega_1 t+\varphi_1)\qquad x_2=A_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2)$$

简单起见，设$A_1=A_2=a,\varphi=0$，则

$$x=2a\cos(\frac{\omega_2-\omega_1}2)t\cdot\cos(\frac{\omega_2+\omega_1}2)t$$

在$|\omega_2-\omega_1|\ll\omega_2+\omega_1$时，上式中的第一项

$$A=2a\cos(\frac{\omega_2-\omega_1}2)t$$

可看做随时间变化的振幅

两个频率相近的简谐振动合成时，振幅作缓慢的周期性改变，称为“拍”，单位时间内振幅强弱的变化次数称为“拍频“

$$v_\text{拍}=\left|\frac{\omega_2-\omega_1}{2\pi}\right|=|v_2-v_1|$$

相互垂直的简谐振动的合成

设物体同时参与两个相互垂直的振动

$$x=A_{1}\cos(\omega t+\varphi_{1})\quad y=A_{2}\cos(\omega t+\varphi_{2})$$

则物体的运动轨迹应满足一椭圆方程

$$\frac{x^{2}}{A_{1}^{2}}+\frac{y^{2}}{A_{2}^{2}}-2\frac{xy}{A_{1}A_{2}}\cos(\varphi_{2}-\varphi_{1})=\sin^{2}(\varphi_{2}-\varphi_{1})$$