微甲II-二重积分

二重积分

引例

曲顶柱体的体积

柱体体积=底面积$\times$高

曲顶柱体体积=？

底：$xOy$平面上的闭区域$D$

顶：连续曲面$z=f(x,y)>0$

侧面：以$D$​的边界为准线，母线平行于z的柱面

通过一维曲线求积分的方法

1. 大化小：用任意曲线网分$D$为$n$个区域$\Delta\sigma_1,\Delta\sigma_2...,\Delta\sigma_n$，以它们为底将曲顶柱体分为多个小曲顶柱体
2. 常代变：在每个$\Delta\sigma_k$中任取一点$(\xi_k,\eta_k)$，则$\Delta V_k\approx f(\xi_k,\eta_k)\Delta\sigma_k$
3. 近似和：$V=\sum_{k=1}^n\Delta V_k\approx\sum_{k=1}^n f(\xi_k,\eta_k)\Delta\sigma_k$
4. 取极限：定义$\Delta\sigma_k$的直径为$\lambda(\Delta\sigma_k)=max\{|P_1P_2||P_1,P_2\in\Delta\sigma_k\}$，令$\lambda=\max_{1\leq k\leq n}\{\lambda(\Delta\sigma_k)\}$，有$V=\lim_{\lambda\to0}\sum_{k=1}^nf(\xi_k,\eta_k)\Delta\sigma_k$

平面薄片的质量

有一平面薄片，在$xOy$平面上占有区域$D$，其面密度为$\mu(x,y)\in C$，若$\mu(x,y)\equiv\mu$（常数），设$D$的面积为$\sigma$，则$M=\mu\cdot\sigma$，若$\mu(x,y)$非常数，则按照常规方法解决

1. 大化小，分割成多个小块
2. 常代变，在每个$\Delta\sigma_k$中任取一点$(\xi_k,\eta_k)$，则第$k$小块的质量为$\Delta M_k\approx\mu(\xi_k,\eta_k)\Delta\sigma_k$
3. 近似和，$M=\sum_{k-1}^n\Delta M_k\approx\sum_{k-1}^n\mu\left(\xi_k,\eta_k\right)\Delta\sigma_k$​
4. 取极限。

可以发现在两个问题当中，步骤相似，而得出的结构式也相似，分别是

$$V=\lim_{\lambda\to0}\sum_{k=1}^{n}f(\xi_{k},\eta_{k})\Delta\sigma_{k}\\ M=\lim_{\lambda\to0}\sum_{k=1}^n\mu(\xi_k,\eta_k)\Delta\sigma_k$$

二重积分的定义及可积性

定义：设$f(x,y)$是定义在有界区域$D$上的有界函数，将区域$D$任意分成$n$个小区域$\Delta\sigma_k$ $(k=1,2,\cdots,n)$, 任取一点$(\xi_k,\eta_k)\in\Delta\sigma_k$ ,若存在一个常数$I$,使

$$I=\lim_{\lambda\to0}\sum_{k=1}^nf(\xi_k,\eta_k)\Delta\sigma_k\overset{\text{记作}}{\operatorname*{=}}\iint_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma$$

则称$f(x,y)$可积，称$I$为$f(x,y)$在$D$上的二重积分

如果$f(x,y)$在$D$上可积，可用平行坐标轴的之间来划分区域$D$，这时$\Delta\sigma_{k}=\Delta x_{k}\Delta y_{k}$，因此面积元素$\mathrm{d}\sigma$也常记作$\mathrm{d}x\mathrm{d}y$​，二重积分记作

$$\iint_Df(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

则引例中的曲顶柱体体积可以记作：

$$V=\iint_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma=\iint_Df(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

二重积分存在定理

• 定理一：若函数$f(x,y)$在有界闭区域$D$上连续，则$f(x,y)$在$D$上可积
• 定理二：若有界函数$f(x,y)$在有界闭区域$D$上除去有限个点或有限条光滑曲线外都连续，则$f(x,y)$在$D$上可积

二重积分的性质

1. $\iint_Dkf(x,y)\mathrm{d}\sigma=k\iint_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma$
2. $\iint_D\left[f(x,y)\pm g(x,y)\right]\mathrm{d}\sigma=\iint_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma\pm\iint_Dg(x,y)\mathrm{d}\sigma\\$

推广： $\iint_D\sum_{i=1}^nk_if_i(x,y)d\sigma=\sum_{i=1}^nk_i\iint_Df_i(x,y)d\sigma$

3. $\iint_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma=\iint_{D_1}f(x,y)\mathrm{d}\sigma+\iint_{D_2}f(x,y)\mathrm{d}\sigma$​
4. 若在$D$上$f(x,y)\equiv1$，$\sigma$为$D$的面积，则$\sigma=\iint_D1\cdot\mathrm{d}\sigma=\iint_D\mathrm{d}\sigma$
5. （单调性）若在$D$上$f(x,y)\le\varphi(x,y)$，则$\iint_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma\leq\iint_D\varphi(x,y)\mathrm{d}\sigma$​
6. （估值定理）设$M=\max_Df(x,y),m=\min_Df(x,y)$，$D$的面积为$\sigma$，则有$m\sigma\leq\iint_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma\leq M\sigma$
7. （二重积分的中值定理）设函数$f(x,y)$在闭区域$D$上连续，$\sigma$为$D$的面积，则至少存在一点$(\xi,\eta)\in D$，使$\iint_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma=f(\xi,\eta)\sigma$​
8. 设函数$f(x,y)$在闭区域上连续，域$D$关于$x$轴对称，$D$位于$x$轴上方的部分为$D_1$，在$D$上若$f(x,-y)=f(x,y)$，则$\iint_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma=2\iint_{D_1}f(x,y)\mathrm{d}\sigma$，若$f(x,-y)=-f(x,y)$，则$\iint_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma=0$