微甲II-多元函数的极值及其求法

将一元函数的极值与最值移植到多元函数

多元函数的极值

若函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的某去心邻域内恒有$f(x,y)<f(x_0,y_0)\quad or\quad f(x,y)>f(x_0,y_0))$，则称函数在该点取得极大值（极小值），统称为极值，取得极值的点称为极值点。

定理1（必要条件）

若$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$存在偏导数，且在该点取得极值，则有

$$f_x'(x_0,y_0)=0,f_y'(x_0,y_0)=0$$

使偏导数都为$0$的点称为驻点，但驻点不一定是极值点。例如$z=xy$有驻点$(0,0)$，但在该点不取极值。可以类比$y=x^3$在$x=0$时有$y'=0$但是不取极值

定理2（充分条件）

若函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数，且

$$f_x'(x_0,y_0)=0,f_y'(x_0,y_0)=0$$

令$A=f_{xx}(x_0,y_0),B=f_{xy}(x_0,y_0),C=f_{yy}(x_0,y_0)$，则

• 当$AC-B^2>0$时，具有极值$\begin{cases}A<0\text{时取最大值}\\A>0\text{时取最小值}\end{cases}$
• 当$AC-B^2<0$时，没有极值
• 当$AC-B^2=0$时，不能确定，需另行讨论

最值应用问题

当区域内部最值存在，且只有一个极值点P时，$f(P)$为极小（大）值$\Rightarrow f(P)$为最小（大）值。

具体应用题见教材

条件极值

极值问题$\begin{cases}\text{无条件极值：对自变量只有定义域限制}\\\text{条件机制：对自变量除定义域限制外，还有其他条件限制}\end{cases}$

方法1 代入法

在条件$\varphi(x,y)=0$下，求函数$z=f(x,y)$的极值

从条件$\varphi(x,y)=0$中解出$y=\psi(x)$

求一元函数$z=f(x,\psi(x))$的无条件极值问题

方法2 拉格朗日乘数法

在条件$\varphi(x,y)=0$下，求函数$z=f(x,y)$的极值

如方法1，问题等价于一元函数$z=f(x,\psi(x))$的极值问题，故极值点必满足

$$\frac{dz}{dx}=f_x+f_y\frac{dy}{dx}=0$$

因$\displaystyle\frac{dy}{dx}=-\frac{\varphi_x}{\varphi_y}$，故有$\displaystyle f_x-f_y\frac{\varphi_x}{\varphi_y}=0$，记

$$\frac{f_x}{\varphi_x}=\frac{f_y}{\varphi_y}=-\lambda$$

极值点必满足$\begin{cases}f_x+\lambda\varphi_x=0\\f_y+\lambda\varphi_y=0\\\varphi(x,y)=0&\end{cases}$

引入辅助函数$F=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$

则极值点满足$\begin{cases}F_x=f_x+\lambda\varphi_x=0\\F_y=f_y+\lambda\varphi_y=0\\F_\lambda=\varphi=0\end{cases}$