微甲II-多元函数微分学的几何应用

对空间曲线和曲面的研究

一元向量值函数及其导数

定义：已知空间曲线$\Gamma$的参数方程

$$\begin{cases} x=\varphi(t)\\ y=\psi(t)&t\in[\alpha,\beta]\\ z=\omega(t) \end{cases}$$

且记$\vec{r}=(x,y,z),\vec{f}(\varphi(t),\psi(t),\omega(t))$，则$\Gamma$的向量方程$\vec{r}=\vec{f}(t), t\in[\alpha,\beta]$，称此映射为一元向量值函数。此轨迹成为向量函数值的终端曲线。

设$\vec{f}(t)=(f_1(t),f_2(t),f_3(t)),t\in D$，我们有

$$\text{极限：}\lim_{t\to t_0}\vec{f}(t)=(\lim_{t\to t_0}f_1(t),\lim_{t\to t_0}f_2(t),\lim_{t\to t_0}f_3(t))\\ \text{连续：}\lim_{t\to t_0}\vec{f}(t)=\vec{f}(t_0)\\ \text{导数：}\vec{f^{\prime}}(t)=(f_1'(t),f_2'(t),f_3'(t))$$

$\vec{f}(t)$的求导法则与一般函数的求导法则相同，此略。

向量值函数导数的几何意义

设$\vec{r}=\vec{f}(t)$的终端曲线为$\Gamma$，则$\vec{f}'(t_0)$表示终端曲线在$t_0$处的切向量，其指向与t的增长方向一致

向量值函数导数的物理意义

设$\vec{r}=\vec{f}(t)$表示质点沿光滑曲线运动的位置向量, 则有

$$\text{速度向量：}\vec{v}(t)=\vec{f}'(t)\\ \text{加速度向量：}\vec{a}=\vec{v}'(t)=\vec{f}''(t)$$

空间曲线的切线与法平面

空间光滑曲线在点$M$处的切线为此点处割线的极限位置。过点$M$与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面。

$\Gamma$在点$M(x,y,z)$处的切向量及法平面的法向量均为$\vec{f^{\prime}}(t)=(\varphi'(t),\psi'(t),\omega'(t))$

同样的，我们可以得到

$$\text{切线方程：}\frac{x-x_0}{\varphi^{\prime}(t_0)}=\frac{y-y_0}{\psi^{\prime}(t_0)}=\frac{z-z_0}{\omega^{\prime}(t_0)}\\ \text{法平面方程：}\varphi^{\prime}(t_0)(x-x_0)+\psi^{\prime}(t_0)(y-y_0)+\omega^{\prime}(t_0)(z-z_0)=0$$

曲线为一般式的情况

对于光滑曲线$\Gamma:\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}$​

当$J=\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}\ne0$时，$\Gamma$可表示为$\begin{cases}y=\varphi(x)\\z=\psi(x)\end{cases}$，且有

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac1J\frac{\partial(F,G)}{\partial(z,x)},\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=\frac1J\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)}$$

故曲线上某一点$M(x_0,y_0,z_0)$处的切向量为

$$\begin{aligned}\vec{T}&=\left(1,\varphi^{\prime}(x_0),\psi^{\prime}(x_0)\right)\\ &=\left(1,\frac1J\frac{\partial(F,G)}{\partial(z,x)}\bigg|_M,\frac1J\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)}\bigg|_M\right) \end{aligned}$$

也可以用这种形式表示切线方程与法平面方程

曲面的切平面与法线

设有光滑曲线$\Sigma:F(x,y,z)=0$，通过其上一定点$M(x_0,y_0,z_0)$任意引一条光滑曲线$\Gamma:x=\varphi(t),y=\psi(t),z=\omega(t)$，设$t=t_0$对应点$M$且导数不全为零，则$\Gamma$在点$M$的切向量为$\vec{T}=(\varphi^{\prime}(t_0),\psi^{\prime}(t_0),\omega^{\prime}(t_0))$，切线方程为$\displaystyle\frac{x-x_0}{\varphi^{\prime}(t_0)}=\frac{y-y_0}{\psi^{\prime}(t_0)}=\frac{z-z_0}{\omega^{\prime}(t_0)}$。过$M$的所有切线都在同一平面上，此平面称为$\Sigma$在该点的切平面。

$$\text{切平面方程：}\\F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0\\ \text{法线方程：}\\ \frac{x-x_0}{F_x(x_0,y_0,z_0)}=\frac{y-y_0}{F_y(x_0,y_0,z_0)}=\frac{z-z_0}{F_z(x_0,y_0,z_0)}$$