微甲II-方向导数与梯度

方向导数与梯度

方向导数

定义：若函数$f(x,y,z)$在点$P(x,y,z)$处沿方向$l$存在下列极限：

$$\lim\limits_{\rho\to0}{\frac{\Delta f}{\rho}}=\lim\limits_{\rho\to0}{\frac{f(x+\Delta x,y+\Delta,z+\Delta z)-f(x,y,z)}{\rho}}=\frac{\partial f}{\partial l}\\ \left(\begin{aligned}\rho&=\sqrt{\left(\Delta x\right)^2+\left(\Delta y\right)^2+\left(\Delta z\right)^2} ,\\[2pt]\Delta x&=\rho\cos\alpha, \Delta y=\rho\cos\beta , \Delta z=\rho\cos\gamma\end{aligned}\right)$$

称$\frac{\partial f}{\partial l}$为函数在P点沿方向$l$​的方向导数

我们可以得到

$$\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}\cos\alpha+\frac{\partial f}{\partial y}\cos\beta+\frac{\partial f}{\partial z}\cos\gamma$$

注意方向导数与偏导数的区别

$$\text{可微}\rightarrow\text{方向导数存在}\nrightarrow\text{偏导数存在}\\ \text{可微}\nleftarrow\text{方向导数存在}\nleftarrow\text{偏导数存在}$$

例

讨论$z=f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$在$(0,0)$处的偏导数和方向导数的存在性

$$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(0,0)}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{|\Delta x|}{\Delta x}$$

同理：$\frac{\partial z}{\partial y}|_{(0,0)}=\lim_{\Delta y\to0}\frac{|\Delta y|}{\Delta y}$

故两个方向的偏导数均不存在。

沿任意方向$\vec{l}=\{x,y\}$的方向导数

$$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial l}\Big|_{(0,0)}&=\lim_{\rho\to0}\frac{f(\Delta x,\Delta y)-f(0,0)}\rho \\[2pt] &=\lim_{\rho\to0}\frac{\sqrt{\left(\Delta x\right)^2+\left(\Delta y\right)^2}}{\sqrt{\left(\Delta x\right)^2+\left(\Delta y\right)^2}}=1 \end{aligned}$$

故沿任意方向的方向导数均存在且相等

梯度

方向导数公式

$$\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}\cos\alpha+\frac{\partial f}{\partial y}\cos\beta+\frac{\partial f}{\partial z}\cos\gamma\\ \Bigg\downarrow \begin{aligned} \text{令向量}\vec{G}&=\left(\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial z}\right)\\ \vec{l}&=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma) \end{aligned}\\ \frac{\partial f}{\partial l}=\vec{G}\cdot\vec{l}=|\vec{G}|\cos(\vec{G},\vec{l})(|\vec{l}|=1)$$

当$\vec{l}$和$\vec{G}$方向一致是，方向导数取最大值

$$max\left(\frac{\partial f}{\partial l}\right)=|\vec{G}|$$

这说明$\vec{G}:\begin{cases}\text{方向:}f\text{ 变化率最大的方向}\\\text{模:}f\text{ 的最大变化率之值}&\end{cases}$

定义：向量$\vec{G}$称为函数$f(P)$在点$P$处的梯度，记作$grad\ f(P)$或$\nabla f(P)$，均等于$(f_x(P),f_y(P),f_z(P))$。其中$\displaystyle\nabla=\left(\frac\partial{\partial x},\frac\partial{\partial y},\frac\partial{\partial z}\right)$称为向量微分算子或$Nabla$​算子。我们还有“函数的方向导数为梯度在该方向上的投影”

$$\frac{\partial f}{\partial l}=grad\ f\cdot\vec{e_l}\qquad(\vec{e_l}\text{为方向}\vec{l}\text{上的单位向量})\\[2pt] \text{——方向导数与梯度的关系}$$

结论：函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。梯度的模为$|grad\ f(P)|$，梯度的方向就是函数$f(x,y)$在这一点增长最快的方向，当$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}$不为零时，梯度与$x$的夹角正切$\displaystyle\tan \theta=\frac{\partial f}{\partial y}/\frac{\partial f}{\partial x}$