微甲II-对坐标的曲面积分

这几节课都上的啥啊我咋听不懂啊

第二型曲线积分与第一型曲线积分不同的是在有方向的曲线上定义的积分，这是由于第二型曲线积分的物理背景是求变力沿曲线作的功，而这类问题显然与曲线的方向有关。第二型曲面积分的典型物理背景是计算流体从曲面一侧流向另一侧的流量。与第二型曲线积分相类似，第二型曲面积分与曲面所取的方向有关，这就需要先定义“曲面的侧”。

有向曲面及曲面元素的投影

上图中从左到右的曲面分别区分“内外侧”、“左右侧”，“上下侧”。

曲面分类为“双侧曲面”和“单侧曲面”。

法线在双侧曲面上移动，返回到同一点时，法线的方向保持不变。

而对于典型的单侧曲面“莫比乌斯带”来说，返回时，发现方向与出发时相反，因而为单侧曲面。

对于指定了侧的曲面叫有向曲面，其方向用法向量指向表示：

方向余弦	$\cos\alpha$	$\cos\beta$	$\cos\gamma$	封闭曲面
侧的规定	$>0$为前侧 $<0$为后侧	$>0$为右侧 $<0$为左侧	$>0$为上侧 $<0$为下侧	外侧 内侧

设$\Sigma$为有向曲面，其面积元$\Delta S$在$xOy$面上的投影记为$(\Delta S)_{xy}$，则规定：

$$(\Delta S)_{xy} \begin{cases} (\Delta\sigma)_{xy},\quad\text{当}\cos\gamma>0\text{时}\\ -(\Delta\sigma)_{xy},\ \text{当}\cos\gamma<0\text{时}\\ 0,\qquad\quad\ \ \text{当}\cos\gamma>0\text{时} \end{cases}$$

其中$(\Delta \sigma)_{xy}$表示投影区域的面积，类似可规定$(\Delta S)_{yz},(\Delta S)_{zx}$。

对坐标的曲面积分的概念和性质

引例

设稳定流动的不可压缩流体的速度场为

$$\vec{v}=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$$

求单位时间内流过有向曲面$\Sigma$的流量$\Phi$.

分析：若$\Sigma$是面积为$S$的平面，法向量$\vec{n}=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$，流速为常向量$\vec{v}$，则流量为$\Phi=S\cdot|\vec{v}|\cos\theta=S\vec{v}\cdot\vec{n}$

对一般的有向曲面$\Sigma$，对稳定流动的不可压缩流体的速度场，分析可得

$$\Phi=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n[P(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S_i)_{yz}+Q(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S_i)_{zx}+R(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S_i)_{xy}$$

定义

设$\Sigma$为呱皇的有向曲面，在$\Sigma$上定义了一个向量场$\vec{A}=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$，若对$\Sigma$的任意分割和在局部面元上任意取点，上述极限都存在，则称此极限为向量场$\vec{A}$在有向曲面上对坐标的曲面积分，或第二类曲面积分。记作

$$\iint_{\Sigma}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

其中$P,Q,R$叫做被积函数，$\Sigma$叫做积分曲面

对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式

$$\iint_{\Sigma}\vec{A}\cdot\vec{n}\mathrm{d}S=\iint_{\Sigma}\vec{A}\cdot\mathrm{d}\vec{S}$$

性质

1. 若$\Sigma=\bigcup_{i=1}^k\Sigma_i$，且$\Sigma_i$之间无公共内点，则

$$\iint_\Sigma\vec{A}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\sum_{i=1}^k\iint_{\Sigma_i}\vec{A}\cdot\mathrm{d}\vec{S}$$

2. 若用$\Sigma^-$表示$\Sigma$的反向曲面，则

$$\iint_{\Sigma^-}\vec{A}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=-\iint_{\Sigma}\vec{A}\cdot\mathrm{d}\vec{S}$$

对坐标的曲面积分的计算法

定理：设光滑曲面$\Sigma:z=z(x,y),(x,y)\in D_{xy}$取上侧，$R(x,y,z)$是$\Sigma$上的连续函数，则

$$\iint_{\Sigma}R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

证明略（好的依旧是因为我懒得敲证明了）

相似的，如果积分曲面$\Sigma$​取下侧，则

$$\iint_{\Sigma}R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=-\iint_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

为上正下负，对于其他面来说，有前正后负，右正左负。

在计算时应注意以下几点

1. 曲面$S$用什么方程表示
2. 向哪个坐标面投影
3. 曲面$S$取哪一侧
4. 积分前取什么符号

两类曲面积分的联系

已经一点都理解不了了，放弃，晚点找助教问问再写这部分