微甲II-对面积的曲面积分

对面积的曲面积分的概念与性质

引例：设曲面形构件具有连续面密度$\rho(x,y,z)$，求质量M

$$M=\lim_{\lambda\to0}\sum_{k=1}^{n}\rho(\xi_k,\eta_k,\zeta_k)\Delta S_k$$

定义

设$\Sigma$为光滑曲面，$f(x,y,z)$是定义在$\Sigma$上的一个有界函数，若对$\Sigma$做任意分割和局部区域任意取点

$$\lim_{\lambda\to0}\sum_{k=1}^nf(\xi_k,\eta_k,\zeta_k)\Delta S_k\xlongequal{\text{记作}}\iint_\Sigma f(x,y,z)\mathrm{d}S$$

都存在，则成次极限为函数$f(x,y,z)$在曲面$\Sigma$上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，其中$f(x,y,z)$叫做被积函数，$\Sigma$叫做积分曲面。

据此定义，曲面形构件的质量为$M=\iint_\Sigma\rho(x,y,z)\mathrm{d}S$，曲面面积为$S=\iint_\Sigma\mathrm{d}S$

对面积的曲面积分与对弧长的的曲线积分性质类似

• 积分的存在性。若$f(x,y,z)$在光滑曲面上连续，则对面积的曲面积分存在。

• 对积分域的可加性。若$\Sigma$是分片光滑的，例如分成两片光滑曲面$\Sigma_1,\Sigma_2$，则有

  $$\iint_{\Sigma}f(x,y,z)\mathrm{d}S=\iint_{\Sigma_1}f(x,y,z)\mathrm{d}S+\iint_{\Sigma_2}f(x,y,z)\mathrm{d}S$$

• 线性性质。设$k_1,k_2$为常数，则

  $$\iint_{\Sigma}[k_1f(x,y,z)\pm k_2g(x,y,z)]\mathrm{d}S=k_1\iint_\Sigma f(x,y,z)\mathrm{d}S\pm k_2\iint_\Sigma g(x,y,z)\mathrm{d}S$$

对面积的曲面积分的计算法

设有光滑曲面$\Sigma:z=z(x,y),(x,y)\in D_{xy}$，$f(x,y,z)$在$\Sigma$上连续，则曲面积分$\iint_\Sigma f(x,y,z)\mathrm{d}S$存在，且有

$$\begin{aligned} &\iint_{\Sigma}f(x,y,z)\mathrm{d}S\\ =&\iint_{D_{xy}}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+{z_x}^2(x,y)+{z_y}^2(x,y)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{aligned}$$

如果曲面方程为$x=x(y,z),(y,z)\in D_{yz}$，则相应地在积分式中替换。

若曲面为参数方程，只要求出在参数意义下$\mathrm{d}S$的表达式，也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分。

对于由参量性质表示的光滑曲面

$$S: \begin{cases} x=x(u,v),\\ y=y(u,v),\qquad(u,v)\in D,\\ z=z(u,v) \end{cases}$$

在$S$上第一型曲面积分的计算公式则为

$$\iint_Df(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\sqrt{EG-F^2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v$$

其中

$$\begin{aligned} &E=x_u^2+y_u^2+z_u^2,\\ &F=x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v,\\ &G=x_v^2+y_v^2+z_v^2. \end{aligned}$$