微甲II-格林公式及其应用

格林公式

设$D$为平面区域，如果$D$内任一闭曲线所围成的部分都属于$D$，则称$D$为平面单连通区域，否则称为多连通区域。

• 单连通：无洞区域
• 多连通：有洞区域

域$D$边界$L$的正向：域的内部靠左。保持这一路径的左侧始终在域内。

定理1

设闭区域$D$是由分段光滑正向曲线$L$围成，函数$P(x,y),Q(x,y)$在$D$上具有连续一阶偏导数，则有

$$\iint_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\oint_LP\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$$

称为格林公式。

证明过程见书。

推论：正向闭曲线$L$所围区域$D$的面积

$$A=\frac12\oint_Lx\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x$$

平面上曲线积分与路劲无关的等价条件

定理2

设$D$是单连通域，函数$P(x,y),Q(x,y)$在$D$内具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价

1. 沿$D$中任意光滑闭曲线$L$，有$\oint_LP\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=0$。
2. 对$D$中任一分段光滑曲线$L$，曲线积分$\int_LP\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$与路径无关，只与起止点有关。
3. $P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$在$D$内是某一函数$u(x,y)$的全微分，即$\mathrm{d}u(x,y)=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$
4. 在$D$内每一点都有$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$。