微甲II-对坐标的曲线积分

对坐标的曲线积分的概念与性质

引例

变力沿曲线所作的功。

设一质点收如下变力作用

$$\vec{F}(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))$$

在$xOy$平面内从点$A$沿光滑曲线弧$L$移动到点$B$，求移动过程中变力所做的功W

$$W=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n\left[P(\xi_i,\eta_i)\Delta x_i+Q(\xi_i,\eta_i)\Delta y_i\right]$$

定义

设$L$为$xOy$平面内从$A$到$B$的一条有向光滑弧，在$L$上定义了一个向量函数

$$\vec{F}(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))$$

若对$L$的任意分割和在局部弧段上任意取点，极限

$$\lim_{\lambda\to0}\sum_{k=1}^n\left[P(\xi_k,\eta_k)\Delta x_k+Q(\xi_k,\eta_k)\Delta y_k\right]\xlongequal{\text{记作}}\int_LP(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$$

都存在，则称此极限为函数$\vec{F}(x,y)$在有向曲线弧$L$上对坐标的曲线积分，或第二类曲线积分，其中$P(x,y),Q(x,y)$称为被积函数，$L$称为积分弧段或积分曲线

$$\int_LP(x,y)\mathrm{d}x=\lim_{\lambda\to0}\sum_{k=1}^nP(\xi_k,\eta_k)\Delta x_k$$

称为对$x$的曲线积分

$$\int_LQ(x,y)\mathrm{d}y=\lim_{\lambda\to0}\sum_{k=1}^nQ(\xi_k,\eta_k)\Delta y_k$$

称为对$y$的曲线积分

若记$\mathrm{d}\vec{r}=(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$，对坐标的曲线积分也可写作

$$\int_L\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_LP(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$$

类似地，若$\Gamma$为空间曲线弧，有相同的定理。

性质

前两条性质与弧长的曲线积分相同

3. 用$L^-$表示$L$的反向弧，则

   $$\int_{L^-}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y=-\int_LP(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$$

对坐标的曲线积分的计算法

定理

设$P(x,y),Q(x,y)$在有向光滑弧$L$上有定义且连续，$L$的参数方程为$x=\varphi(t),y=\psi(t),t:\alpha\to\beta$，则曲线积分存在，且有

$$\int_LP(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y=\int_\alpha^\beta\left\{P[\varphi(t),\psi(t)]\varphi'(t)+Q[\varphi(t),\psi(t)]\psi'(t)\right\}\mathrm{d}t$$

证明略

特别地，如果$L$的方程为$y=\psi(x),x:a\to b$，则

$$\int_LP(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y=\int_a^b\bigl\{P[x,\psi(x)]+Q[x,\psi(x)]\psi'(x)\bigr\}\mathrm{d}x$$

对空间光滑曲线弧$\Gamma\begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\psi(t)\\z=\omega(t)\end{cases},t:\alpha\to\beta$，类似有

$$\int_\Gamma P(x,y,z)\mathrm{d}x+Q(x,y,z)\mathrm{d}y+R(x,y,z)\mathrm{d}z\\ =\int_\alpha^\beta\{P[\varphi(t),\psi(t),\omega(t)]\varphi'(t)\\ +Q[\varphi(t),\psi(t),\omega(t)]\psi^{\prime}(t)\\ +R[\varphi(t),\psi(t),\omega(t)]\omega^{\prime}(t)\}\mathrm{d}t$$

两类曲线积分之间的联系

虽然第一型曲线积分与第二型曲线积分来自不同的物理原型, 且有着不同的特性, 但在一定条件下, 如在规定了曲线方向之后, 可以建立它们之间的联系。

设有向光滑弧$L$一弧长为参数的参数方程为

$$x=x(s),y=y(s)\qquad(0\le s\le l)$$

已知$L$切向量的方向余弦为$\cos \alpha=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s},\cos \beta=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}s}$

则两类曲线积分有如下联系

$$\begin{aligned} &\int_LP(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y\\ =&\int_0^l\left\{P[x(s),y(s)]\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s}+Q[x(s),y(s)]\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}s}\right\}\mathrm{d}s\\ =&\int_0^l\{P[x(s),y(s)]\cos\alpha+Q[x(s),y(s)]\cos\beta\}\mathrm{d}s\\ =&\int_L\left\{P(x,y)\cos\alpha+Q(x,y)\cos\beta\right\}\mathrm{d}s \end{aligned}$$