对弧长的曲线积分的概念和性质
引例
假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB,其线密度为ρ(x,y,z),计算构件质量可得
M=λ→0limk=1∑nρ(ξk,ηk,ζk)Δsk
定义
设 Γ是空间中一条有限长的光滑曲线,f(x,y,z)是定义在 Γ上的一个有界函数,若通过对 Γ的任意分割和对局部的任意取点,下列“乘积和式极限”
λ→0limk=1∑nf(ξk,ηk,ζk)Δsk记作∫Γf(x,y,z)ds
都存在,则称次极限为f(x,y,z)在曲线Γ上对弧长的曲线积分,或第一类曲线积分。f(x,y,z)称为被积函数,Γ称为积分弧段。
如果L是闭曲线,则记为∮Lf(x,y,z)ds
性质
- ∫Γ[αf(x,y,z)+βg(x,y,z)]ds=α∫Γf(x,y,z)ds+β∫Γg(x,y,z)ds
- ∫Γf(x,y,z)ds=∫Γ1f(x,y,z)ds+∫Γ2f(x,y,z)ds
- 设在 Г上f(x,y,z)≤g(x,y,z)则,∫Γf(x,y,z)ds≤∫Γg(x,y,z)ds
- ∫Γds=l
对弧长的曲线积分的计算法
基本思路:将求曲线积分转化为计算定积分
设f(x,y)是定义在光滑曲线弧
L:x=φ(t),y=ψ(t) (α≤t≤β)
上的连续函数,则曲线积分存在,且
∫Lf(x,y)ds=∫αβf[φ(t),ψ(t)]φ′2(t)+ψ′2(t)dt
证明略,∵Δsk>0,Δtk>0,因此积分限必须满足α<β。同时注意到
ds=(dx)2+(dy)2=φ′2(t)+ψ′2(t)dt
因此上述计算公式相当于“换元法”
如果曲线L的方程为y=ψ(x)(a≤x≤b),则有
∫Lf(x,y)ds=∫abf(x,ψ(x))1+ψ′2(x)dx
如果方程为极坐标形式:L:r=r(θ)(α≤θ≤β),则
∫Lf(x,y)ds=∫αβf(r(θ)cosθ,r(θ)sinθ)r2(θ)+r′2(θ)dθ