微甲II-对弧长的曲线积分

对弧长的曲线积分的概念和性质

引例

假设曲线形细长构件在空间所占弧段为$\widehat{AB}$，其线密度为$\rho(x,y,z)$，计算构件质量可得

$$M=\lim_{\lambda\to0}\sum_{k=1}^n\rho(\xi_k,\eta_k,\zeta_k)\Delta s_k$$

定义

设 $\Gamma$是空间中一条有限长的光滑曲线，$f(x,y,z)$是定义在 $\Gamma$上的一个有界函数，若通过对 $\Gamma$​的任意分割和对局部的任意取点，下列“乘积和式极限”

$$\lim_{\lambda\to0}\sum_{k=1}^nf(\xi_k,\eta_k,\zeta_k)\Delta s_k\xlongequal{\text{记作}}\int_\Gamma f(x,y,z)\mathrm{d}s$$

都存在，则称次极限为$f(x,y,z)$在曲线$\Gamma$上对弧长的曲线积分，或第一类曲线积分。$f(x,y,z)$称为被积函数，$\Gamma$称为积分弧段。

如果$L$是闭曲线，则记为$\oint_Lf(x,y,z)\mathrm{d}s$

性质

1. $\int_\Gamma[\alpha f(x,y,z)+\beta g(x,y,z)]\mathrm{d}s=\alpha\int_\Gamma f(x,y,z)\mathrm{d}s+\beta\int_\Gamma g(x,y,z)\mathrm{d}s$
2. $\int_\Gamma f(x,y,z)\mathrm{d}s=\int_{\Gamma_1}f(x,y,z)\mathrm{d}s+\int_{\Gamma_2}f(x,y,z)\mathrm{d}s$​
3. 设在 Г上$f(x,y,z)\leq g(x,y,z)$则，$\int_\Gamma f(x,y,z)\mathrm{d}s\leq\int_\Gamma g(x,y,z)\mathrm{d}s$​
4. $\int_\Gamma\mathrm{d}s=l$

对弧长的曲线积分的计算法

基本思路：将求曲线积分转化为计算定积分

设$f(x,y)$是定义在光滑曲线弧

$$L:x=\varphi(t),y=\psi(t)~(\alpha\leq t\leq\beta)$$

上的连续函数，则曲线积分存在，且

$$\int_L f(x,y) \mathrm{d}s = \int_\alpha^\beta f[\varphi(t),\psi(t)] \sqrt{ {\varphi^\prime}^2(t) + {\psi^\prime}^2(t)} \mathrm{d}t$$

证明略，$\because \Delta s_k>0,\Delta t_k>0$，因此积分限必须满足$\alpha<\beta$。同时注意到

$$\begin{aligned}\mathrm{d}s&=\sqrt{\left(\mathrm{d}x\right)^2+\left(\mathrm{d}y\right)^2}\\&=\sqrt{ {\varphi^{\prime} }^2(t)+{\psi^{\prime} }^2(t)}\mathrm{d}t\end{aligned}$$

因此上述计算公式相当于“换元法”

如果曲线$L$的方程为$y=\psi(x)(a\leq x\leq b)$,则有

$$\int_Lf(x,y)\mathrm{d}s=\int_a^bf(x,\psi(x))\sqrt{1+\psi^{\prime2}(x)}\mathrm{d}x$$

如果方程为极坐标形式：$L:r=r(\theta)(\alpha\leq\theta\leq\beta)$，则

$$\int_Lf(x,y)\mathrm{d}s=\int_\alpha^\beta f(r(\theta)\cos\theta,r(\theta)\sin\theta)\sqrt{r^2(\theta)+r^{\prime2}(\theta)}\mathrm{d}\theta$$