微甲II-三重积分

关于我睡过头这节微积分课完全没听这件事，后来补的笔记

三重积分的概念

引例

设在空间有限闭区域$\Omega$内分布着某种不均匀的物质，密度函数为$\mu(x,y,z)\in C$，求分布在$\Omega$内的物质的质量$M$。类似二重积分的思想，可得

$$M=\lim_{\lambda\to0}\sum_{k=1}^n\mu(\xi_k,\eta_k,\zeta_k)\Delta v_k$$

设$f(x,y,z),(x,y,z)\in\Omega$，若对$\Omega$作任意分割：$\Delta v_k$，任意取点$(\xi_k,\eta_k,\zeta_k)\in\Delta v_k$，下列乘积和式极限

$$\lim_{\lambda\to0}\sum_{k=1}^nf(\xi_k,\eta_k,\zeta_k)\Delta v_k\xlongequal{\text{记作}}\iiint_\Omega f(x,y,z)\mathrm{d}v$$

存在，则称此极限为函数$f(x,y,z)$在$\Omega$上的三重积分。

三重积分的性质与二重积分相似，例如中值定理：设$f(x,y,z)$在有界闭域$\Omega$上连续，$V$为$\Omega$的体积，则存在$(\xi,\eta,\zeta)\in\Omega$使得

$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)\mathrm{d}v=f(\xi,\eta,\zeta)V$$

三重积分的计算

利用直角坐标计算三重积分

先假设连续函数$f(x,y,z)\ge0$，并将它看做某物体的密度函数，通过计算该物体的质量引出下列各计算方法：

投影法（先一后二）

$xy$型区域$\Omega:\begin{cases}z_1(x,y)\le z\le z_2(x,y)\\(x,y)\in D\end{cases}$

细长柱体微元的质量为

$$\left(\int^{z_2(x,y)}_{z_1(x,y)}f(x,y,z)\mathrm{d}z\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

该物体的质量为

$$\iiint_\Omega f(x,y,z)\mathrm{d}v=\iint_D\left(\int^{z_2(x,y)}_{z_1(x,y)}f(x,y,z)\mathrm{d}z\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\xlongequal{\text{记作}}\iint_D\mathrm{d}x\mathrm{d}y\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\mathrm{d}z$$

截面法（先二后一）

$$\Omega:\begin{cases}(x,y)\in D_z\\a\leq z\leq b\end{cases}$$

以$D_2$为底，以$\mathrm{d}z$为高的柱状薄片质量为

$$(\iint_{D_z}f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y)\mathrm{d}z$$

该物体的质量为

$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)\mathrm{d}v=\int_{a}^{b}\left(\iint_{D_{z}}f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}z \xlongequal{\text{记作}}\int_a^b\mathrm{d}z\iint_{D_z}f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

三次积分法

利用柱坐标计算三重积分

设$M(x,y,z)\in\mathbf{R}^3$，将$x,y$用极坐标$\rho,\theta$代替，则$(\rho,\theta,z)$就成为点M的柱坐标。

$$\begin{cases} x=\rho\cos\theta\\ y=\rho\sin\theta\\ z=z \end{cases}$$

坐标面分别为

$$\rho=\text{常数}\Rightarrow\text{圆柱面}\\ \theta=\text{常数}\Rightarrow\text{半平面}\\ z=\text{常数}\Rightarrow\text{平面}\\$$

体积元素为$\mathrm{d}v=\rho\ \mathrm{d}\rho\ \mathrm{d}\theta\ \mathrm{d}z$

因此有$\iiint_\Omega F(\rho,\theta,z)\rho\ \mathrm{d}\rho\ \mathrm{d}\theta\ \mathrm{d}z$

利用球坐标计算三重积分

设$M(x,y,z)\in\mathbf{R}^3$，其柱坐标为$(\rho,\theta,z)$，令$|\vec{OM}|=r,\angle zOM=\varphi$，则$(\rho,\theta,\varphi)$就称为点$M$的球坐标

$$\left\{\begin{array}{l}x=r\sin\varphi\cos\theta\\y=r\sin\varphi\sin\theta\\z=r\cos\varphi\end{array}\right.$$

在球面坐标系中，体积元素为$\mathrm{d}v=r^2\sin\varphi\ \mathrm{d}r\ \mathrm{d}\varphi\ \mathrm{d}\theta$

因此有$\iiint_\Omega F(r,\theta,\varphi)r^2\sin\varphi\ \mathrm{d}r\ \mathrm{d}\varphi\ \mathrm{d}\theta$