微甲II-二重积分的计算

二重积分的计算法

利用直角坐标计算二重积分

由曲顶柱体体积的计算可知，当被积函数$f(x,y)\ge 0$且在$D$上连续时，若$D$为$X-$型区域

$$D:\begin{cases}\varphi_1(x)\leq y\leq\varphi_2(x)\\ a\leq x\leq b\end{cases}$$

则

$$\iint_Df(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int^b_a\mathrm{d}x\int^{\varphi_2(x)}_{\varphi_1(x)}f(x,y)\mathrm{d}y$$

相似的，若$D$为$Y-$型区域

$$D:\begin{cases}\psi_1(y)\leq x\leq\psi_2(y)\\c\leq y\leq d\end{cases}$$

则

$$\iint_Df(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int^d_c\mathrm{d}y\int^{\psi_2(y)}_{\psi_1(y)}f(x,y)\mathrm{d}x$$

若被积函数$f(x,y)$在$D$上变号时，由于

$$f(x,y)=\underbrace{\frac{f(x,y)+|f(x,y)|}2}_{f_1(x,y)}-\underbrace{\frac{|f(x,y)|-f(x,y)}2}_{f_2(x,y)\text{均非负}}$$

$$\therefore\iint_Df(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint_Df_1(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y-\iint_Df_2(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

若积分区域既是$X-$型区域又是$Y-$型区域，则可以选择积分序，必要时可以交换。

若积分域较复杂，还可将它分成若干$X-$型域或$Y-$型域，则

$$\iint_D=\iint_{D_1}+\iint_{D_2}+\iint_{D_3}$$

积分次序的选择原则

1. 函数原则：保证两次定积分的原函数能求出
2. 区域原则：$X-$型区域先对$y$积分，$Y-$型区域先对$x$​积分
3. 分块原则：使积分区域分块数最少

确定积分上下限的原则

1. 后积先定限（将区域投影到相应的数轴上得积分区间，上、下限均为常数）
2. 先积后定限（上下限或为常量，或为后积分变量的函数）
   1. 域内划条线（平行于坐标轴）
   2. 先交为下限
   3. 后交为上限

例1

$I=\iint_D(x^2+y^2+1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D$为矩形$-1\leq x\leq1,-2\leq y\leq2$

解：

$$\begin{aligned} I&=\int^1_{-1}\mathrm{d}x\int^2_{-2}(x^2+y^2+1)\mathrm{d}y\\ &=\int_{-1}^1\left(x^2y+\frac13y^3+y\right)\Bigg|_{-2}^2\mathrm{d}x\\ &=\int_{-1}^1(4x^2+\frac{28}3)\mathrm{d}x=\frac{64}3 \end{aligned}$$

例2

计算$\iint_D\frac{\sin x}x\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D$是直线$y=x,y=0,x=\pi$所围成的闭区域

解：由被积函数可知，先对$x$积分不行，因此取$D$为$X-$型域：$D:\begin{cases}0\le y\le x\\0\le x\le \pi\end{cases}$​

$$\therefore \iint_D\frac{\sin x}x\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_0^\pi\frac{\sin x}x\mathrm{d}x\int_0^x\mathrm{d}y=\int_0^\pi\sin x\mathrm{d}x=\left[-\cos x\right]_0^\pi=2$$

（对于$\int \frac{\sin x}x\mathrm{d}x$,$\int \sin x^2\mathrm{d}x$,$\int \cos x^2\mathrm{d}x$等不能用初等函数表示的积分，均须更换积分次序。）

利用极坐标计算二重积分

在在极坐标系下, 用同心圆$r$=常数及射线$\theta$=常数，划分区域$D$为$\Delta\sigma_k$

除包含边界点的小区域外，小区域的面积

$$\begin{aligned} \Delta\sigma_k&=\frac12(r_k+\Delta r_k)^2\cdot\Delta\theta_k-\frac12r_k^2\cdot\Delta\theta_k\\ &=\frac12[r_k+(r_k+\Delta r_k)]\Delta r_k\cdot\Delta\theta_k\\ &=\overline{r_k}\Delta r_k\cdot\Delta\theta_k \end{aligned}$$

在$\Delta\sigma_k$内取点$(\overline{r_k},\overline{\theta_k})$，对应有$\xi_k=\overline{r_k}\cos{\overline{\theta_k}},\eta_k=\overline{r_k}\sin{\overline{\theta_k}}$

$$\lim_{\lambda\to0}\sum_{k=1}^nf(\xi_k,\eta_k)\Delta\sigma_k=\lim_{\lambda\to0}\sum_{k=1}^nf(\overline{r_k}\cos{\overline{\theta_k}},\overline{r_k}\sin{\overline{\theta_k}})\overline{r_k}\Delta r_k\Delta\theta_k$$

即

$$\iint_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma=\iint_Df(r\cos\theta,r\sin\theta)r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$$

例1

计算$\iint_De^{-x^2-y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D:x^2+y^2\le a^2$

解：在极坐标系下$D:\begin{cases}0\le r\le a\\0\le\theta\le 2\pi\end{cases}$，故，

$$\begin{aligned} \text{原式}&=\iint_De^{-r^2}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta=\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^are^{-r^2}\mathrm{d}r\\ &=2\pi\left[-\frac12e^{-r^2}\right]_0^a=\pi(1-e^{-a^2}) \end{aligned}$$

因被积函数的原函数不是初等函数，故本题无法用直角坐标计算。